Denklemler, Denklem Kurma ve Denklem Çözme

DENKLEMLER

• İçinde bilinmeyen bulunan eşitliklere denklem denir.
• İçinde bir tane bilinmeyen bulunan denklemlere  bir bilinmeyenli denklemler denir.
• Denklemlerde sembollerle temsil edilen değişkenlere bilinmeyen denir.
• Bir denklemde bilinmeyeni bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme denir.
• Denklemi doğru yapan bilinmeyenin değerine denklemin çözümü denir. Buna denklemin kökü de denir.
• Denklemin köklerini bir kümeye yazmaya da çözüm kümesi denir.[SPOT 1]

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

Denklemin derecesi denklemdeki bilinmeyenin kuvvetidir.

5x + 12 = 128 denkleminde x’in kuvveti (üssü) 1 olduğu için bu denklem birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.

3x² − 2 = 734 denkleminde x’in kuvveti (üssü) 2 olduğu için bu denklem ikinci dereceden bir denklemdir.

İçinde bir tane bilinmeyen bulunan birinci derece denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.[SPOT 2]

DENKLEM KURMA

Daha önce cebirsel ifadeleri ve belirli durumlara uygun cebirsel ifade yazmayı öğrenmiştik.

Bu konumuzda ise belirli durumlara uygun denklem nasıl kurulur öğreneceğiz.

ÖRNEK: Aşağıdaki durumlara uygun denklem kuralım.

* Bir miktar paranın 2 katının 10 TL fazlası 52 liradır.

Paranın miktarını bilmediğimiz için bilinmeyenimiz olan bu paraya p diyelim.

2.p + 10 = 52

* Bir sayının 10 katının 7 eksiği 13’e eşittir.

Burada sayıyı bilmediğimiz için bilinmeyenimiz olan bu sayıya x diyelim.

10.x − 7 = 13

*Bir miktar şekerin 10 fazlasının 3 katı 120’ye eşittir.

Burada şeker sayısını bilmediğimiz için bilinmeyenimiz olan şekerlere a diyelim.

(a + 10) . 3 = 120

DENKLEM ÇÖZME

Denklem çözerken amacımız bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır. Bunun için bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, bilinen sayıları eşitliğin diğer tarafına toplarız. Daha sonra bilinmeyeni yalnız bırakırız.

Denklemleri çözerken terazi modeli düşünebiliriz. Eşitliğin bir tarafını terazinin bir kefesi, diğer tarafını terazinin diğer kefesi düşünelim. Eşitlik terazinin dengede olduğu anlamına gelir. Dengede olan bir terazinin her iki tarafına aynı şeyi koysak denge bozulmaz. Aynı şekilde dengedeki terazinin her iki kefesinden aynı ağırlığı çıkartırsak da denge bozulmaz. Bu şekilde bu işlemleri yaparak terazinin bir kefesinde ağırlığını bilmediğimiz cismi, diğer kefesinde ağırlığını bildiğimiz cismi bırakırız ve ağırlığını bilmediğimiz cismin ağırlığını bulmuş oluruz.

Bu işlemleri yaparken:

* Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir.

* Eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkartılabilir.

*Eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılabilir.

* Eşitliğin her iki tarafı aynı sayıya bölünebilir.

Bu işlemleri daha pratik yapmak için şöyle de yapabiliriz:

Toplam durumundaki + işaretli sayılar eşitliğin diğer tarafına geçerken − olur.

Toplam durumundaki − işaretli sayılar eşitliğin diğer tarafına geçerken + olur.

Çarpım durumundaki sayılar eşittirin diğer tarafına bölüm olarak geçer

Bölüm durumundaki sayılar eşittirin diğer tarafına çarpım olarak geçer.

ÖRNEK: 3x + 10 = 25 işlemini yapalım.

Bilinmeyeni yalnız bırakmak için +10 karşıya −10 olarak gönderilir.

3x = 25 − 10

3x = 15

x’in başındaki çarpım durumundaki 3’ü karşıya bölüm olarak göndeririz.

x = 15/3

x = 5

Denklemin kökü 5 bulunur. Çözüm kümesi Ç = {5}

ÖRNEK: 7x − 4 = 5x + 8 işlemini yapalım.

Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, diğer sayıları diğer tarafa toplarız.

(Bilinmeyenleri, bilinmeyen nerede büyükse orada toplamak kolaylık sağlar.)

Bilinmeyenleri eşitliğin soluna, bilinen sayıları eşitliğin sağına alalım.

−4 sağa +4 olarak geçer, 5x sola −5x olarak geçer

7x − 5x = 8 + 4

2x = 12

x’in başındaki 2 katsayısını karşıya bölü olarak göndeririz.

x = 12/2

x = 6

Denklemin kökü 6 bulunur. Çözüm kümesi Ç = {6}